Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點(diǎn)

（1）求證：AN∥平面 MBD;

（2）求異面直線AN與PD所成角的余弦值;

（3）求二面角M-BD-C的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）構(gòu)造三角形的中位線，出現(xiàn)線線平行，利用線面平行的判定即得線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角的余弦值；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值.

規(guī)律總結(jié)：對于空間幾何體中的垂直、平行關(guān)系的判定，要牢牢記住有關(guān)判定定理與性質(zhì)定理并靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化，線線關(guān)系是關(guān)鍵；涉及夾角、距離的求解問題以及開放性問題，要注意恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.

試題解析：（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，

∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點(diǎn)，

∵M(jìn)、N為側(cè)棱PC的三等分點(diǎn)，∴CM=MN，

∴OM∥AN, ∵平面MBD，AN平面MBD

∴AN∥平面MBD

（2）如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A（0,0,0），B（3，0,0）, C(3,6,0),D(0,6,0)

P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)

∵

∴異面直線AN與PD所成的角的余弦值為

（3）∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD

∴平面BCD的一個法向量為

設(shè)平面MBD的法向量為

并且

，令y=1,得x=2,z=-2

∴平面MBD的一個法向量為

由圖知二面角是銳角

∴二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：1.線面平行的判定定理；2.空間向量的應(yīng)用.