Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若?x∈R，f（x-1）≤f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[-

  1

  6

  ，

  1

  6

  ]
• B、[-

  6

  6

  ，

  6

  6

  ]
• C、[-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ]
• D、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：把x≥0時(shí)的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時(shí)的函數(shù)的最大值，由對(duì)?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a²-（-4a²）≤1，求解該不等式得答案．

解答： 解：當(dāng)x≥0時(shí)，
f（x）=

x-3a2，x＞2a2 -a2，a2＜x≤2a2 -x，0≤x≤a2

，
由f（x）=x-3a²，x＞2a²，得f（x）＞-a²；
當(dāng)a²＜x≤2a²時(shí)，f（x）=-a²；
由f（x）=-x，0≤x≤a²，得f（x）≥-a²．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)min=-a2．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)max=a2．
∵對(duì)?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
∴2a²-（-4a²）≤1，解得：-

6

6

≤a≤

6

6

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

6

6

，

6

6

]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是由對(duì)?x∈R，都有f（x-1）≤f（x）得到不等式2a²-（-4a²）≤1，是中檔題．