Question

（2013•資陽模擬）已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，  e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若對區(qū)間（1，2）內任意兩個不等的實數(shù)x₁，x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，  e]上有兩個零點，將函數(shù)轉化為求函數(shù)極大值和極小值之間的關系，進行求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）將不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立，問題轉化為最值恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=2lnx-x²+2x，f′(x)=

2

x

-2x+2，切點坐標為（1，1），
切線的斜率k=f'（1）=2，則切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x²+m，則g′(x)=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，故g'（x）=0時，x=1．
當

1

e

＜x＜1時，g'（x）＞0；
當1＜x＜e時，g'（x）＜0．
故g（x）在x=1處取得極大值g（1）=m-1．（4分）
又g(

1

e

)=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，g(e)-g(

1

e

)=4-e2+

1

e2

＜0，則g(e)＜g(

1

e

)，
∴g（x）在[

1

e

，  e]上的最小值是g（e）．（6分）
g（x）在[

1

e

，  e]上有兩個零點的條件是

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2 ≤0

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
∴實數(shù)m的取值范圍是(1，  2+

1

e2

]．（8分）
（Ⅲ）不妨設1＜x₁＜x₂＜2，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立等價于f（x₂）-f（x₁）＜2（x₂-x₁），即f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂．（10分） 
令u（x）=f（x）-2x，由x₁，x₂具有任意性知，u（x）在區(qū)間（1，2）內單調遞減，
∴u'（x）=f'（x）-2＜0恒成立，即f'（x）＜2恒成立，（12分）
∴

2

x

-2x+a＜2，a＜2x-

2

x

+2在（1，2）上恒成立．
令h(x)=2x-

2

x

+2，則h′(x)=2+

2

x2

＞0，（13分）
∴h(x)=2x-

2

x

+2在（1，2）上單調遞增，則h（x）＞h（1）=2，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．（14分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，考查學生的運算能力，運算量較大，綜合性較強，難度較大．