Question

已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？
若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為.

試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義列出，解出和的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參得出關(guān)于的方程，得到兩根之和、兩根之積，求出的面積，面積之和內(nèi)切圓的半徑有關(guān)，所以當(dāng)的面積最大時，內(nèi)切圓面積最大，換一種形式求的面積，利用換元法和配方法求出面積的最大值，而直線的斜率不存在時，易求出和圓面積，經(jīng)過比較，當(dāng)不存在時圓面積最大.
試題解析：（Ⅰ）由已知，可設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240322392332462.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
所以，橢圓的方程為
（也可用待定系數(shù)法，或用）      4分
（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線：，由得，
設(shè)，，     6分
所以，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032239093592.png" style="vertical-align:middle;" />的周長為（定值），，所以當(dāng)的面積最大時，內(nèi)切圓面積最大，又，    8分
令，則，所以    10分
又當(dāng)不存在時，，此時，
故當(dāng)不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為.      12分