Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤2x的解集；
（2）如果關(guān)于x的不等式log_a2＜f（x）在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法即可求出不等式f（x）≤2x的解集；
（2）求出函數(shù)f（x）的最值，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（1）若當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=x+1+x-5=2x-4，
當(dāng)-1＜x＜5，f（x）=x+1-x+5=6，
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）═-x-1-x+5=-2x+4，
即f（x）=

2x-4，x≥5 6，-1＜x＜5 -2x+4，x≤-1

，
則不等式f（x）≤2x等價(jià)為：
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=2x-4≤2x，即-4≤0恒成立，此時(shí)x≥5，
當(dāng)-1＜x＜5時(shí)，f（x）=6≤2x，解得x≥3，此時(shí)3≤x＜5，
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=-2x+4≤2x，即x≥1，此時(shí)x無(wú)解，
綜上不等式的解集為{x|x≥5或3≤x＜5}．
（2）如果關(guān)于x的不等式log_a2＜f（x）在R上恒成立，
則只需log_a2＜f（x）_min即可，
∵f（x）=

2x-4，x≥5 6，-1＜x＜5 -2x+4，x≤-1

，
∴函數(shù)f（x）的最小值為6，
∴l(xiāng)og_a2＜6，
若0＜a＜1，則a⁶＞2，此時(shí)不成立．
若a＞1，則a⁶＜2，解得1＜a＜

6	2

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a＜

6	2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，利用絕對(duì)值函數(shù)的特點(diǎn)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．