Question

已知函數(shù)f（x）=

1 x -x，x＜0 a•3x，x≥0

，若f[f（x）]=0只有一個零點，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，先求出f（x）的值，再由f（x）的值代入分段函數(shù)中進(jìn)行討論，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f[f（x）]=0只有一個零點，則a≠0；
若f（x）＜0，f[f（x）]=0可化為

1

f(x)

-f（x）=0，
解得，f（x）=-1，
若f（x）≥0，f[f（x）]=0可化為
a•3^f（x）=0，無解；
綜上所述，
f[f（x）]=0只有一個零點可化為方程f（x）=-1只有一個解，
若x＜0，則f（x）=-1可化為

1

x

-x=-1，有且只有一個解；
則x≥0時，f（x）=-1無解，
即a•3^x=-1無解，
①若a＞0，a•3^x=-1無解成立；
②若a＜0，化為a•3^x≤a•3⁰＜-1，
即a＜-1；
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（0，+∞）．

點評：本題考查了分段函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．