定義數(shù)列如下：a1=2，an+1=an2-an+1，n∈N*．證明：
（1）當n＞2，且n∈N*時，有an+1=an•an-1•…•a2•a1+1成立；
（2）1-
1
22010
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2010
＜1．
分析：（1）先由條件得：an+1-1=an（an-1）再變形得an-1=an-1（an-1-1）最后將n從2到n+1累加即得；
（2）由（1）得
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1
，從而利用拆項相消法，將n從1到2006取值后相加，最后利用放縮法即可證得．
解答：解：（1）由an+1=an2-an+1得：an+1-1=an（an-1）
∴an-1=an-1（an-1-1）
a2-1=a1（a1-1）
累加得：an+1-1=anan-1a1（a1-1）
又a1=2，則an+1=anan-1a1+1．

（2）∵an+1-1=an（an-1）∴
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an

∴
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1

∴
1
a1
+
1
a2
++
1
a2006
=(
1
a1-1
-
1
a2-1
)+(
1
a2-1
-
1
a3-1
)+
1
a1
+
1
a2
++(
1
a2006-1
-
1
a2007-1
)=1-
1
a1a2a2006
＜1．
點評：本題主要考查了用數(shù)學歸納法證明不等式，以及用拆項法證明不等式，屬于基礎題．數(shù)學歸納法是重要的數(shù)學思想方法，是證明與正整數(shù)有關的命題的一種有效方法．特別是“試驗-猜想-證明”的解題途徑又是進行研究性學習的最好方法之一．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+m，其中m∈R，定義數(shù)列{an}如下：a1=0，an+1=f（an），n∈N*．
（1）當m=1時，求a2，a3，a4的值；
（2）是否存在實數(shù)m，使a2，a3，a4構成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求出實數(shù)m的值，并求出等差數(shù)列的公差；若不存在，請說明理由．
（3）若正數(shù)數(shù)列{bn}滿足：b1=1，bn+1=2f(
bn
)-2m（n∈N*），Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求使Sn＞2010成立的最小正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+m，其中m∈R．定義數(shù)列{an}如下：a1=0，an+1=f（an），n∈N*．
（1）當m=1時，求a2，a3，a4的值；
（2）是否存在實數(shù)m，使a2，a3，a4構成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由；
（3）求證：當m大于
14
時，總能找到k∈N，使得ak大于2010．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省月考題 題型：解答題

設Sn為數(shù)列{an}的前n項和（n=1，2，3，……）。按如下方式定義數(shù)列 {an}：a1=m（m∈N*），對任意k∈N*，k＞1，設ak為滿足0≤ak≤k-1的整數(shù)，且k整除Sk，
（Ⅰ）當m=9時，試給出{an}的前6項；
（Ⅱ）證明：k∈N*，有；
（Ⅲ）證明：對任意的m，數(shù)列{an} 必從某項起成為常數(shù)列。

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年湖北省荊州市松滋二中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義數(shù)列如下：a1=2，an+1=an2-an+1，n∈N*．證明：
（1）當n＞2，且n∈N*時，有an+1=an•an-1•…•a2•a1+1成立；
（2）．

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