如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),已知BC∥x軸,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,且AC=BC.
(1)寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式;
(2)探究:若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo);不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)在拋物線線y=ax2-5ax+4中,令x=0可得點(diǎn)C坐標(biāo),由BC∥x軸可得B和C關(guān)于對稱軸對稱對稱,從而可求B,由點(diǎn)A在x軸上及AC=BC=5可求A,把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax2-5ax+4中可求a,進(jìn)而可求拋物線的方程
(2)分三類情形考慮:①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè))②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)③以AB為底,頂角為角P的△PAB有1個(gè),即△P3AB.分別進(jìn)行求解P的坐標(biāo)
解答:解:(1)在拋物線線y=ax2-5ax+4中,令x=0可得點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4),拋物線的對稱軸是
∵BC∥x軸
∴B和C關(guān)于直線對稱,從而有B(5,4)
∵點(diǎn)A在x軸上  AC=BC=5
∴A(-3,0)…(3分)
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax2-5ax+4中,解得
…(5分)
(2)存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè).以下分三類情形 探索.
設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于N,與CB交于M.
過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q,易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè):△P1AB.∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80
在 Rt△ANP1中,(7分)
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè):△P2AB.
在 Rt△BMP2中,(9分)
③以AB為底,頂角為角P的△PAB有1個(gè),即△P3AB.
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P3,此時(shí)平分線必過等腰△ABC的頂點(diǎn)C.
過點(diǎn)P3作P3K垂直y軸,垂足為K,顯然 Rt△P3CK∽Rt△BAQ.∴.∵P3K=2.5∴CK=5于是OK=1(11分)
所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為,、…(12分)
注:第(3)小題中,只寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),無任何說明者不得分.
點(diǎn)評:本題主要考查了由拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程,及直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,解題(2)要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算的能力.
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2
3
bx+
c
3
的單調(diào)增區(qū)間
 

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(2)設(shè)P(x,y)(0<x<6)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q.
①當(dāng)x取何值時(shí),線段PQ的長度取得最大值,其最大值是多少?
②是否存在這樣的點(diǎn)P,使∠OQA為直角?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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