Question

求證：菱形各邊中點(diǎn)在以對角線的交點(diǎn)為圓心的同一個圓上．

Answer 1

【答案】分析：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，菱形ABCD各邊中點(diǎn)分別為M、N、P、Q，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四點(diǎn)在以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上．
解答：已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O．
求證：菱形ABCD各邊中點(diǎn)M、N、P、Q在以O(shè)為圓心的同一個圓上．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，
而M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴OM=ON=OP=OQ=AB，
∴M、N、P、Q四點(diǎn)在以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上．
所以菱形各邊中點(diǎn)在以對角線的交點(diǎn)為圓心的同一個圓上．
點(diǎn)評：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定方法．也考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．