Question

【題目】已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與圓相交于點(diǎn)A，B，圓M過點(diǎn)A，B且與直線相切．

（1）求圓心M的軌跡C的方程；

（2）若圓心在x軸正半軸上面積等于的圓W與曲線C有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)．

（�。┣蟪鰣AW標(biāo)準(zhǔn)方程；

（ⅱ）已知斜率等于的直線，交曲線C于E，F兩點(diǎn)，交圓W于P，Q兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）的最小值為，此時(shí)直線的方程為．

【解析】

（1）設(shè)，由題意結(jié)合圓的性質(zhì)可得、，代入化簡即可得解；

（2）（ⅰ）設(shè)圓W與曲線C的公共點(diǎn)為，圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得曲線C在T的切線l與圓W相切即，由直線垂直的性質(zhì)及點(diǎn)在圓W上即可得解；

（ⅱ）設(shè)，，直線，聯(lián)立方程組結(jié)合弦長公式可得，由垂徑定理可得，確定m的取值范圍后，通過換元、基本不等式即可得解.

（1）由題意圓的圓心為，半徑為2，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)O，

所以坐標(biāo)原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，，

所以，

設(shè)，所以，

又因?yàn)閳AM與直線相切，所以圓M的半徑，

所以，化簡得M的軌跡C的方程為；

（2）（�。┯桑�1）知曲線C為，設(shè)，則，

設(shè)圓W與曲線C的公共點(diǎn)為，

則曲線C在T的切線l的斜率，

由題意，直線l與圓W相切于T點(diǎn)，

設(shè)圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓W的的圓心為，

則直線WT的斜率，

因?yàn)?/span>，所以，即 ，

又因?yàn)?/span>，所以，所以

令，則，所以

即，所以，

所以，，

從而圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（ⅱ）設(shè)，，直線，

由得，所以，，

所以，

又因?yàn)閳AW的圓心到直線的距離為，

所以，

所以，

由于與曲線C、圓W均有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，解得，

令，則，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)時(shí)，的最小值為，

此時(shí)直線的方程為.