Question

【題目】已知以點(diǎn)C（t， ）（t∈R且t≠0）為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求證：△AOB的面積為定值．
（2）設(shè)直線2x+y﹣4=0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可得：圓的方程為： =t2+ ，化為：x2﹣2tx+y2﹣ =0．

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：A（2t，0），B ．∴S△OAB= =4，為定值．

（2）解：∵|OM|=|ON|，∴原點(diǎn)O在線段MN的垂直平分線上，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為H，則C，H，O三點(diǎn)共線，

OC的斜率k= = ，∴ ×（﹣2）=﹣1，解得t=±2，可得圓心C（2，1），或（﹣2，﹣1）．

∴圓C的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，或（x+2）2+（y+1）2=5．

（3）解：由（2）可知：圓心C（2，1），半徑r= ，點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′（﹣4，﹣2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又點(diǎn)B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B′C|﹣r= ﹣ =2 ，

則|PB|+|PQ|的最小值為2 ．

直線B′C的方程為：y= x，此時(shí)點(diǎn)P為直線B′C與直線l的交點(diǎn)，

故所求的點(diǎn)P ．

【解析】（1）由題意可得：圓的方程為： =t2+ ，化為：x2﹣2tx+y2﹣ =0．求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可對(duì)稱(chēng)S△OAB．（2）由|OM|=|ON|，可得原點(diǎn)O在線段MN的垂直平分線上，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為H，則C，H，O三點(diǎn)共線，

可得t，即可對(duì)稱(chēng)圓C的方程．（3）由（2）可知：圓心C（2，1），半徑r= ，點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′（﹣4，﹣2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又點(diǎn)B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B′C|﹣r= ﹣ =2 ，進(jìn)而得出．