Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x＞0）．
（1）若a＜0，試用定義證明：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若a＞0，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)為增函數(shù)；
（2）若a＞0，則f（x）在（0，

a

）上單調(diào)遞減，在（

a

，+∞）上單調(diào)遞增．分①若0＜a≤1，②若1＜a＜9，③若a≥9，三種情況討論函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，列出不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）若a＜0，設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，則
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

）．┅（2分）
因?yàn)閤₁-x₂＜0，1-

a

x1x2

＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．┅（6分）
（2）若a＞0，則f（x）在（0，

a

）上單調(diào)遞減，在（

a

，+∞）上單調(diào)遞增．
①若0＜a≤1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=1+a．
所以，1+a≥2，即a≥1，所以a=1．┅（8分）
②若1＜a＜9，則f（x）在[1，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，3]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（

a

）=2

a

．所以，2

a

≥2，a≥1即，所以1＜a＜9．┅（10分）
③若a≥9，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（3）=3+

a

3

．
所以，≥2，即a≥-3，所以a≥9．┅（12分）
綜合①②③，a≥1．┅（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值知識(shí)，解題時(shí)注意對(duì)a的分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．