Question

定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）成中心對稱且對任意的實數(shù)x都有f（x）=-f（x+

3

2

）且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2014）=（　　）

• A、1
• B、0
• C、-1
• D、2

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）成中心對稱，對任意實數(shù)x都有f（x）=-f（x+

3

2

），我們易判斷出函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而由f（-1）=1，f（0）=-2，我們求出一個周期內(nèi)函數(shù)的值，進(jìn)而利用分組求和法，得到答案．

解答： 解：∵f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+

3

2

）=-f（x），
則f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x）
所以，f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
則f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，f（

1

2

）=-f（-1）=-1
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）成中心對稱，
∴f（1）=-f（-

5

2

）=-f（

1

2

）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）=1
故選：A．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知中對任意實數(shù)x都有f（x）=-f（x+

3

2

），判斷出函數(shù)的周期性，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．