Question

15．若函數(shù)f（x）=ax-lnx在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得極值，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先求函數(shù)的定義域，然后求出導函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得極值，則f′（0）=0，求出a的值，然后驗證即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-lnx，
∴函數(shù)的定義域為（0，+∞）．      
∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$．     
∵f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得極值，
即f′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=a-$\sqrt{2}$=0，
∴a=$\sqrt{2}$．                                                     
當a=$\sqrt{2}$時，在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）內f′（x）＜0，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）內f′（x）＞0，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$是函數(shù)y=f（x）的極值點．
∴a=$\sqrt{2}$．   
故選：A

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，關鍵需要驗證，屬于基礎題．