Question

已知點M(1，y)在拋物線C：y²=2px(p＞0)上，M點到拋物線C的焦點F的距離為2，直線l：y=-x+b與拋物線C交于A，B兩點，
(1)求拋物線C的方程；
(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；
(3)若直線l與y軸負半軸相交，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

解：(1)拋物線y²=2px(p＞0)的準(zhǔn)線為，
由拋物線定義和已知條件可知，解得p=2，
故所求拋物線方程為y²=4x。
(2)聯(lián)立，消去x并化簡整理得y²+8y-8b=0，
依題意應(yīng)有Δ=64+32b＞0，解得b＞-2，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
設(shè)圓心Q(x₀，y₀)，則應(yīng)有，
因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓的半徑為r=|y₀|=4，
又|AB|=
，
所以，解得，
所以x₁+x₂=2b-2y₁+2b-2y₂=4b+16=，
所以圓心坐標(biāo)為，
故所求圓的方程為。
(3)因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0，
又l與拋物線C交于兩點，由(2)知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直線l：整理得x+2y-2b=0，
點O到直線l的距離，
所以，
令g(b)=b³+2b²，-2＜b＜0，，
當(dāng)b變化時，g′(b)、g(b)的變化情況如下表：

由上表可得g(b)的最大值為，
所以當(dāng)時，△AOB的面積取得最大值。