Question

甲、乙、丙三人射擊同一目標，各射擊一次，已知甲擊中目標的概率為

3

5

，乙與丙擊中目標的概率分別為m、n（m＞n），每人是否擊中目標是相互獨立的．記目標被擊中的次數(shù)為ξ，且ξ的分布列如下表：
（I） 求m，n的值；
（II） 求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的分布列，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，用m，n寫出概率的表示式，得到關(guān)于m，n的方程組，解方程組得到要求的m，n的值．
（II）需要先做出兩個變量對應(yīng)的概率，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出a，b對應(yīng)的表示式，把得到結(jié)果代入求變量的期望值的式子，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)可得
P（ξ=0）=

2

5

(1-m)(1-n)=

1

15

，
∴化簡得mn-（m+n）=-

5

6

  ①
P（ξ=1）=

3

5

（1-m）（1-n）+

2

5

m（1-n）+

2

5

n（1-m）
=

1

10

+

2

5

(m+n)-

4

5

mn=

3

10

∴m+n-2mn=

1

2

      ②
聯(lián)立①②可得m=

2

3

，n=

1

2

（Ⅱ）由題設(shè)得：b=P（ξ=3）=

3

5

×

2

3

×

1

2

=

1

5

∴a=1-（

1

15

+

1

10

+

1

5

）=

13

30

∴Eξ=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及分布列的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的期望，本題是一個基礎(chǔ)題，題目的運算量不大，是一個理科近幾年常考到的題目．