Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)由f（x）的極大值構(gòu)成的函數(shù)為g（x），試判斷曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n為確定的常數(shù)）中的哪一條相切，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=e^-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，
得x=0或x=2-a，
當(dāng)a=2時，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，此時f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜2時，f'（x）＜0時，2-a＞0，
若x＜0，則f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，則f'（x）＞0，x=0是函數(shù)f（x）的極小值點；
當(dāng)a＞2時，2-a＜0，若x＞0，則，若2-a＜x＜0，則f'（x）＞0，
此時x=0是函數(shù)f（x）的極大值點，
綜上所述，使函數(shù)f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍是a＜2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＜2，且當(dāng)x＞2-a時，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的極大值點，f_max（x）=f（2-a）=（4-a）e^a-2，
于是g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2，令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2），
則h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，
即h（x）在（-∞，2）是增函數(shù)，
所以當(dāng)x＜2時，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g(shù)'（x）＜1，
又直線2x-3y+m=0的斜率為

2

3

，直線3x-2y+n=0的斜率為

3

2

，
所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0相切．