Question

在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若a=2，?C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式，由cos

B

2

的值求出cosB的值，根據(jù)其值大于0得到B為銳角，則根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，然后根據(jù)C的度數(shù)和三角形的內(nèi)角和定理，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sinA，由a、sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S．

解答：解：由題意得：cosB=2cos2

B

2

-1=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

＞0，所以B為銳角，
則sinB=

1-cos2B

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
由C=

π

4

及A+B+C=π，得sinA=sin（π-B-C）=sin（

3π

4

-B）=sin

3π

4

cosB-cos

3π

4

sinB=

2

2

×

3

5

+

2

2

×

4

5

=

7 2

10

，
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

即

2

7 2 10

=

c

2 2

，解得c=

10

7

，
∴S=

1

2

ac•sinB=

1

2

×2×

10

7

×

4

5

=

8

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用正弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．做題時(shí)學(xué)生應(yīng)注意根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)判斷角的范圍．