Question

給出平面幾何的一個(gè)定理：底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)都確定的等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值．將此結(jié)論類比到空間，寫出在三棱錐中類似的結(jié)論為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由平面幾何性質(zhì)，類比推理空間幾何體的性質(zhì)，一般是：由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理面的性質(zhì)，由面的性質(zhì)類比推理體的性質(zhì)．

解答：解：設(shè)等腰三角形ABC的底邊BC=a和腰AB=AC=b確定，
則它的高h(yuǎn)確定，設(shè)P是底邊BC上任一點(diǎn)，P到兩腰的距離分別為h₁，h₂，
由面積分割得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，
即

1

2

ah=

1

2

b(h1+h2)，故h1+h2=

a

b

h為定值．
類似地，設(shè)正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)和棱長(zhǎng)確定，
則它的高h(yuǎn)確定，底面積S確定，一個(gè)側(cè)面的面積S'也確定，
設(shè)P是底面ABC上任一點(diǎn)，P到到三個(gè)側(cè)面的距離分別為h₁，h₂，h₃，
由體積分割得：V_S-ABC=V_P-SAB+V_P-SBC+V_P-SAC，
即

1

3

Sh=

1

3

S′(h1+h2+h3)，故h1+h2+h3=

S

S′

h為定值．
故答案為：底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都確定的底面上任意一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離之和為定值

點(diǎn)評(píng)：本小題是一道類比推理問題，主要考查創(chuàng)新思維能力．事實(shí)上，平面幾何中的不少定理、結(jié)論都可以類比推廣到空間中去，值得我們進(jìn)一步去探索和研究．