Question

選修：4-2：矩陣與變換
若圓C：x²+y²=1在矩陣（a＞0，b＞0）對(duì)應(yīng)的變換下變成橢圓E：，求矩陣A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)P（x，y）為圓C上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋�(gè)點(diǎn)P'（x'，y'），代入橢圓方程，對(duì)照?qǐng)A的方程即可求出a和b的值，從而得到矩陣A，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．
解答：解：設(shè)P（x，y）為圓C上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋�(gè)點(diǎn)P'（x'，y'），
則  =，即 …（4分）
又因?yàn)辄c(diǎn)P'（x'，y'）在橢圓 上，所以．
由已知條件可知，x²+y²=1，所以 a²=4，b²=3．
因?yàn)?nbsp;a＞0，b＞0，
所以 a=2，b=． …（10分）
∴A=，
∴根據(jù)A=的逆矩陣A^-1=，
∴矩陣A的逆矩陣A^-1=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特殊矩陣的變換、逆變換與逆矩陣，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．