Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），，x∈R，a＞0．
（1）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）證明：對任意實數(shù)x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由定義法判斷函數(shù)即可，易證；
（2）求出的導數(shù)，根據(jù)參數(shù)a的取值范圍分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，求出其單調(diào)區(qū)間；
（3）代入解析式，將不等式轉(zhuǎn)化為根據(jù)其形式發(fā)現(xiàn)可以令進一步將成立的問題轉(zhuǎn)化為成立的問題，故可構(gòu)造函數(shù)對兩個不等式分步證明，下借助函數(shù)的單調(diào)性證明即可
解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）的定義域為R，
且
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)．（2分）
（2）（3分）
當a=1時，g'（x）=e^-x（e^x-1）²≥0且當且僅當x=0時成立等號，故g（x）在R上遞增；（4分）
當0＜a＜1時，，令g'（x）＞0得或e^x＜a，
故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，lna）或（-lna，+∞）；（5分）
當a＞1時，，令g'（x）＞0得e^x＞a或，
故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-lna）或（lna，+∞）．（6分）
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，?，（7分）
令，則只需證（8分）
先證，由（2）知g（x）=e^x-e^-x-2x在R上遞增，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）=0
∴e^x-e^-x＞2x，從而由x＞0知成立；（10分）
再證，即證：，
令，則是減函數(shù)，
∴當x＞0時，h（x）＜h（0）=0，從而成立．（13分）
綜上，對任意實數(shù)x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式成立．（14分）
點評：本題考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了用函數(shù)的奇偶性定義證明函數(shù)的奇偶性以及用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導數(shù)證明不等式，本題綜合性很強，對做題都觀察轉(zhuǎn)化的能力要求較高，是導數(shù)應用這一部分的難題．