Question

（2012•蚌埠模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_n=

an-1

an-1+1

(n∈N*，n≥2)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)一切正整數(shù)n，令S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=

an-1

an-1+1

(n∈N*，n≥2)可構(gòu)造等差數(shù)列，可求

1

an

，進(jìn)而可求a_n
（2）結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，考慮利用裂項(xiàng)求和方法即可求解

解答：解：（1）由a_n=

an-1

an-1+1

(n∈N*，n≥2)
可得

1

an

=1+

1

an-1

即

1

an

-

1

an-1

=1
∴數(shù)列{

1

an

}是以

1

2

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=

1

2

+n-1=n-

1

2

∴an=

2

2n-1

（2）∵a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴Sn=2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=2（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列，數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用是求和的關(guān)鍵