Question

已知A、B、C是直線l上的三點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

=[f（x）+2f′（1）x]

OB

-lnx•

OC

，則函數(shù)y=f（x）的表達式為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：應(yīng)用平面向量的性質(zhì)

OC

=x

OA

+y

OB

，在A、B、C三點共線時x+y=1；得出f（x）+2f′（1）x-lnx=1，求出f′（1）的值，即得f（x）．

解答： 解：根據(jù)題意，點O不在直線AB上，且A、B、C三點共線；
∴f（x）+2f′（1）x-lnx=1，
兩邊對x求導(dǎo)，得f′（x）+2f′（1）-

1

x

=0，
令x=1，得f′（1）+2f′（1）-1=0，
解得f′（1）=

1

3

；
∴f（x）=lnx+1-2f′（1）x=lnx+1-

2

3

x．
故答案為：f（x）=lnx+1-

2x

3

．

點評：本題考查了平面向量的應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用平面向量的基本定理中的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．