Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）當x∈[1，2]時函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，求此時a的值．
（Ⅳ）當x∈[-2，-1]時函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，求此時a的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵x∈R，f（-x）=a^-x+a^x=a^x+a^-x=f（x）…（3分）
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=ax1+a-x1-(ax2+a-x2)
（1）當a＞1時，
由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則ax1＞0、ax2＞0、ax1＜ax2、ax1+x2＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
（2）當0＜a＜1時，
由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則ax1＞0、ax2＞0、ax1＞ax2、0＜ax1+x2＜1；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
所以，對于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都為增函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）亦為增函數(shù)；
由于函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，則f（2）=

5

2

即a2+

1

a2

=

5

2

，解得a=

2

，或a=

2

2

（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）證知f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)，則知f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
則當x∈[-2，-1]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)
由于函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，則f（-2）=

5

2

即

1

a2

+a2=

5

2

，解得a=

2

，或a=

2

2