Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、對(duì)稱軸方程及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）現(xiàn)保持縱坐標(biāo)不變，把f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，得到新的函數(shù)h（x）；
（�。┣骽（x）的解析式；
（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足，h（A）=，c=2，試求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二倍角的三角函數(shù)公式降次，再用輔助角公式合并得f（x）=sin（2x+）-，再結(jié)合函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的有關(guān)公式，可得f（x）的最小正周期、對(duì)稱軸方程及單調(diào)區(qū)間；
（II）（i）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的公式，不難得到h（x）的解析式為h（x）=sin（x+）-；
（ii）根據(jù)h（A）的值結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍和特殊三角函數(shù)的值，求得A=，再由結(jié)合正弦定理，討論得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在兩種情況下分別解此三角形，再結(jié)合面積公式可求出△ABC的面積．
解答：解：（I）∵f（x）==sin2x-=sin2xcos+cos2xsin-，
∴f（x）=sin（2x+）-，f（x）的最小正周期為T==π．
令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為：x=+kπ，（k∈Z）
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得-+kπ≤x≤+kπ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-，+kπ]，（k∈Z）
同理可得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[+kπ，+kπ]，（k∈Z）
（II）∵保持縱坐標(biāo)不變，把f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，得到新的函數(shù)h（x）
∴h（x）=f（x）=sin（x+）-，
（i）h（x）的解析式為h（x）=sin（x+）-；
（ii）∵h(yuǎn)（A）=sin（A+）-=，
∴sin（A+）=，結(jié)合A∈（0，π）得A=
∵=
∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=
①當(dāng)A=B時(shí)，因?yàn)閏=2，A=，所以△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
因此，△ABC的面積S=×2²=．
②當(dāng)A+B=時(shí)，因?yàn)閏=2，A=，所以△ABC是斜邊為2的直角三角形
∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1
因此，△ABC的面積S=××1=．
綜上所述，得△ABC的面積是或．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合了三角恒變換、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、利用正余弦定理解三角形等知識(shí)，對(duì)三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行了綜合考查，是一道中檔題．