Question

13．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AD，AB的中點．
（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求CB₁與平面CAA₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由EF∥BD，B₁D₁∥BD，得EF∥B₁D₁，由此能證明EF∥平面CB₁D₁．
（2）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O，連結(jié)CO，由已知推導(dǎo)出∠B₁CO是CB₁與平面CAA₁C₁所成角，由此能求出CB₁與平面CAA₁C₁所成角的大小．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點，
∴EF∥BD，B₁D₁∥BD，∴EF∥B₁D₁，
∵EF?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴EF∥平面CB₁D₁．
解：（2）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O，連結(jié)CO，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，AA₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，∴B₁O⊥平面CAA₁C₁，
∴∠B₁CO是CB₁與平面CAA₁C₁所成角，
∵OB₁=$\frac{1}{2}$CB₁，
∴sin∠B₁CO=OB₁：CB₁=$\frac{1}{2}$，
∴CB₁與平面CAA₁C₁所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．