求證：當(dāng)且僅當(dāng)n是3的倍數(shù)時，等比數(shù)列1，2，，…的前n項和能被7整除．

答案：
解析：

證明 =1＋2＋＋…＋=－1

當(dāng)n=1，2時，顯然不能被7整除．

當(dāng)n≥3時，設(shè)n=3k＋r，k∈，r∈{0，1，2}，則

易知能被7整除，且

r=0時，－1=0；

r=1時，－1=1；

r=2時，－1=3．

∴當(dāng)且僅當(dāng)r＝0即n是3的整數(shù)倍時，能被7整除．

注意，本例也可用數(shù)學(xué)歸納法證明．利用二項式定理證明有關(guān)多項式的整除問題，關(guān)鍵在于將被除式構(gòu)造成恰當(dāng)?shù)亩検叫问剑蛊湔归_后的每一項均含有除式的因式．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
1
4
，a2=
3
4
，an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），數(shù)列{bn}滿足b1＜0，3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Sn．
（Ⅰ）求證：數(shù){bn-an}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列；
（Ⅲ）若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時，Sn取得最小值，求b1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列an中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿足a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）設(shè)由bn=
Sn
n+c
（c≠0）構(gòu)成的新數(shù)列為bn，求證：當(dāng)且僅當(dāng)c=-
1
2
時，數(shù)列bn是等差數(shù)列；
（3）對于（2）中的等差數(shù)列bn，設(shè)cn=
8
(an+7)•bn
（n∈N*），數(shù)列cn的前n項和為Tn，現(xiàn)有數(shù)列f（n），f(n)=
2bn
an-2
-Tn（n∈N*），
求證：存在整數(shù)M，使f（n）≤M對一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•廣東模擬）已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿足a2•a3=45，a1=a4=14．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)由bn=
Sn
n+c
（c≠0）構(gòu)成的新數(shù)列為{bn}，求證：當(dāng)且僅當(dāng)c=-
1
2
時，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（3）對于（2）中的等差數(shù)列{bn}，設(shè)cn=
8
(an+7)•bn
（n∈N*），數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，現(xiàn)有數(shù)列{f（n）}，f（n）=Tn•（an+3-
8
bn
）•0.9n（n∈N*），是否存在n0∈N*，使f（n）≤f（n0）對一切n∈N*都成立？若存在，求出n0的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：閔行區(qū)一模 題型：解答題

已知等差數(shù)列an中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿足a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）設(shè)由bn=
Sn
n+c
（c≠0）構(gòu)成的新數(shù)列為bn，求證：當(dāng)且僅當(dāng)c=-
1
2
時，數(shù)列bn是等差數(shù)列；
（3）對于（2）中的等差數(shù)列bn，設(shè)cn=
8
(an+7)•bn
（n∈N*），數(shù)列cn的前n項和為Tn，現(xiàn)有數(shù)列f（n），f(n)=
2bn
an-2
-Tn（n∈N*），
求證：存在整數(shù)M，使f（n）≤M對一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．

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