雙曲線
x2
a2
-y2=1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)恰在雙曲線的一條準(zhǔn)線上，PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
OP
•
OQ
等于（　�。�
A、0B、-1
C、1D、與PQ的位置及a的值有關(guān)
分析：由雙曲線
x2
a2
-y2=1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)恰在雙曲線的一條準(zhǔn)線上，能夠推導(dǎo)出a2=3．再利用雙曲線的性質(zhì)和向量的婁得積公式能夠推導(dǎo)出
OP
•
OQ
．
解答：解：取雙曲線
x2
a2
-y2=1的虛軸端點(diǎn)B（1，0）與焦點(diǎn)F（
a2+1
，0），則BP的中點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)x0=
1+
a2+1
2
，
∵BP的中點(diǎn)在雙曲線的準(zhǔn)線x=
a2
a2+1
上，∴
1+
a2+1
2
=
a2
a2+1
．解得a2=3．
∵PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦，
∴可設(shè)P(x0，
3
3
x0)  ，Q(x0，-
3
3
x0)，則
OP
•
OQ
=x02-
1
3
x02=
2
3
x02．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的端點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和向量的數(shù)量積，在解題過(guò)程中要注意合理選取公式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　�。�
A、[3-2
3
，+∞)
B、[3+2
3
，+∞)
C、[-
7
4
，+∞)
D、[
7
4
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，則a等于
 
，該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)圓C的圓心為雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的左焦點(diǎn)，且與此雙曲線的漸近線相切，若圓C被直線l：x-y+2=0截得的弦長(zhǎng)等于
2
，則a等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，并且P點(diǎn)與右焦點(diǎn)F′的連線垂直x軸，則線段OP的長(zhǎng)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-
3
，0)，則其漸近線方程為（　�。�
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

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