(2005遼寧，17)如下圖，已知三棱錐P—ABC中，E、F分別是AC、AB的中點，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(1)證明：PC⊥平面PAB；

(2)求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

(3)若點P、A、B、C在一個表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長．

答案：略
解析：

解析：(1)證明：連結CF．

∵，∴AP⊥PC．

∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF．

∵PC平面PCF，∴PC⊥AB．故PC⊥平面PAB．

(2)∵AB⊥PF，AB⊥CF，

∴∠PFC為所求二面角的平面角．

設AB=a，則，，

∴cos．

(3)設PA=x，球半徑為R．

∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，故．

由，得，故x=2，

∴△ABC的邊長為．


提示：

剖析：本題考查線面垂直、二面角的求法及球與接切三棱錐的問題．


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