Question

（2008•臨沂二模）如圖，給出了一個三角形數陣，已知每一列的數成等差數列，從第3行起，每一行的數成等比數列，每一行的公比都相等．記第i行第j列的數為a_ij（i≥j，i，j∈N^*）
（I）求a₄₃；    
（Ⅱ）寫出a_ij；
（Ⅲ）設這個數陣共有n行，求數陣中所有數之和．

Answer 1

分析：（I）求出第一列的公差，理由等差數列的通項公式求a₄₃；    
（Ⅱ）利用等比數列的性質寫出a_ij；
（Ⅲ）利用錯誤相減法求出數陣中所有數之和．

解答：：（I）題意知，第一列公差為d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，所以a41=

1

4

+(4-1)×

1

4

=1，
由第3行得公比q=

1

2

，所以a₄₃=1×(

1

2

)2=

1

4

．
（Ⅱ）a_ij=

i

4

(

1

2

)j-1．
（Ⅲ）設數陣中第n行的所有數字之和為A_n，
則An=

n

4

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

n

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

n

2

-

1

2

×

n

2n

．
所求之和S=A₁+A₂+…+A_n=

1

2

(1+2+…+n)-

1

2

(1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n

)．
設Tn=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n•

1

2n-1

，
則

1

2

Tn=1×

1

22

+2×

1

23

+…+n•

1

2n+1

，
兩式相減得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
所以S=

n(n+1)

4

-1+

1

2n

+

n

2n+1

=

n2+n-4

4

+

n+2

2n+1

．

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的綜合運用，運算量較大，綜合性較強，考查學生的運算能力．