Question

在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，向量=（2sinB，），=（cos2B，cosB），且，向量共線．
（1）求角B的大�。�
（2）如果b=1，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

解：（1）由，向量共線得到：2sinBcosB=cos2B，即tan2B=，
由B∈（0，）得到：2B∈（0，π），
所以2B=，即B=；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即1=a²+c²-ac≥2ac-ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
所以ac≤=2+，
則S_△ABC=acsinB≤，即S_△ABC的最大值為．
分析：（1）根據(jù)共線向量的坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系得到一個(gè)關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，即可求出tan2B的值，然后由銳角B的范圍求出2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由b，cosB的值，利用余弦定理及基本不等式即可求出ac的最大值，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)而得到三角形ABC面積的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握向量關(guān)系時(shí)滿(mǎn)足的條件，靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．