Question

已知直線l過點（0，），且斜率為，拋物線C：y²=2px（p大于0）的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若（O為原點，A、B異于原點），試求點N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得直線l的方程，進而可得到原點垂直于l的直線方程，然后聯(lián)立兩方程求得其交點坐標(biāo)，即可得到P的值，從而可確定拋物線的方程．
（2）先假設(shè)A，B，N的坐標(biāo)，根據(jù)可得到關(guān)于A，B坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由A，B兩點均在拋物線上得到y(tǒng)₂²=4x₁，y₂²=4x₂即可得到y(tǒng)₁y₂的值，再表示出直線ON，結(jié)合y₂²=4x₁，y₂²=4x₂和y₁y₂=-8可得到點N的軌跡．
解答：解：（1）由題意可得直線l：①
過原點垂直于l的直線方程為y=-2x②
解①②得．∵拋物線的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上．
∴，P=2∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），由，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂．解得y₁y₂=-8③
直線ON：，即④由③、④及y=y₁得，
點N的軌跡方程為x=-2（y≠0）．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合題，直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點也是熱點問題，每年必考，平時要注意基礎(chǔ)知識的積累和靈活運用．