已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a、b是常數(shù))滿足條件:f(2)=0,且方程f(x)=x有兩個相等實根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在實數(shù)m、n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n]?如存在,求出m、n的值;如不存在,說明理由.
解:(1)方程f(x)=x,即ax2+bx=x,
亦即ax2+(b-1)x=0.
由方程有兩個相等實根,
得Δ=(b-1)2-4a×0=0,
∴b=1. ①
由f(2)=0,得4a+2b=0. ②
由①、②得,a=-,b=1,
故f(x)=-x2+x.
(2)假設(shè)存在實數(shù)m、n滿足條件,由(1)知,
f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤,
則2n≤,即n≤.
∵f(x)=-(x-1)2+的對稱軸為x=1,
∴當(dāng)n≤時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù).
于是有
即
∴
又m<n≤,∴
故存在實數(shù)m=-2,n=0,
使f(x)的定義域為[m,n],值域為[2m,2n].
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x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
bx-1 | a2x+2b |
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