Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，則f（-x）的單增區(qū)間為

[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π]，k∈Z

．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式提取2，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，得到f（x）的周期為π，利用周期公式求出ω的值，確定出函數(shù)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，求出x的范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：f（x）=

3

sinωx+cosωx=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）
=2sin（ωx+

π

6

），
由y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，得到f（x）的周期為π，
∴T=

2π

|ω|

=π，又ω＞0，
∴ω=2，
故f（x）=2sin（2x+

π

6

），f（-x）=2sin（-2x+

π

6

）=-2sin（2x-

π

6

），
∵正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π]，k∈Z，
∴令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z，即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π]，k∈Z．
故答案為：[kx+

π

3

，kx+

5

6

π]，k∈Z

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．