Question

已知數列{a_n}的各項都是正數，且滿足：a₀=1，a_n+1=

1

2

an（4-a_n），n∈N．
（1）證明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）先看當n=1時，根據題設求得a₁，進而可知a₀＜a₁＜2；再假設n=k時有a_k-1＜a_k＜2．通過a_k-a_k+1=

1

2

（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．根據a_k-1＜a_k＜2．進而證明原式，綜合這兩個方面，證明命題正確．
（2）整理a_n+1=

1

2

an4-a_n得，2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²，令b_n=a_n-2，代入2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²整理求得b_n，進而求得
a_n．

解答：解：（1）1°當n=1時，a₀=1，a₁=

1

2

a0（4-a₀）=

3

2

，
∴a₀＜a₁＜2，命題正確．
2°假設n=k時有a_k-1＜a_k＜2．
則n=k+1時，a_k-a_k+1=

1

2

ak-1（4-a_k-1）-

1

2

ak（4-a_k）
=2（a_k-1-a_k）-

1

2

（a_k-1²-a_k²）
=

1

2

（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．
而a_k-1-a_k＜0.4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k+1＜0．
又a_k+1=

1

2

ak（4-a_k）=

1

2

[4-（a_k-2）²]＜2
∴n=k+1時命題正確．
由1°、2°知，對一切n∈N時有a_n＜a_n+1＜2．
（2）a_n+1=

1

2

an（4-a_n）=

1

2

[-（a_n-2）²+4]，
所以2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²
令b_n=a_n-2，則b_n=-

1

2

b

2 n-1

=-

1

2

(-

1

2

b

2 n-2

)2=-

1

2

(

1

2

)2bn-322=…=-(

1

2

)1+2++2n-1

b

2n 1

，
又b₀=-1，所以b_n=-(

1

2

)2n-1，即a_n=2+b_n=2-(

1

2

)2n-1．

點評：本題主要考查了數列的遞推式以及用數學歸納法解決問題的能力．