Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）的增減性，并進行證明；
（3）若x∈（3，+∞）時，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
定義域為（1，+∞）不關(guān)于原點對稱
故函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)
（2）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）=（x＞1）
令g（x）=，設(shè)x₁＞x₂＞1
則g（x₁）-g（x₂）=-=
∵x₁＞x₂＞1
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減
（3）若x∈（3，+∞）時，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，
則m＞[f（x）-2^x]_max=[-2^x]_max
而-2^x在（3，+∞）上單調(diào)遞減
∴[-2^x]＜-7
∴實數(shù)m的取值范圍是m≥-7
分析：（1）先求函數(shù)的定義域，看其是否關(guān)于原點對稱，不對稱則為非奇非偶函數(shù)；
（2）先化簡，利用單調(diào)性的定義先判定g（x）=在（1，+∞）上的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行判定即可；
（3）將x∈（3，+∞）時，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，轉(zhuǎn)化成m＞[f（x）-2^x]_max，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求出m的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定和恒成立問題，屬于中檔題．