Question

已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)G滿足．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知過點(diǎn)且與軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡于P，Q兩點(diǎn)．在線段上是否存在點(diǎn)，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的方程是．（Ⅱ）存在，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，由題設(shè)即可得動(dòng)點(diǎn)G的軌跡的方程.（Ⅱ）要使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，只需即可．設(shè)，則，，由得移項(xiàng)用平方差公式得    ①

設(shè)直線的方程為，則，，故①式變形為，然后用韋達(dá)定理可得一個(gè)與的關(guān)系式：，由此關(guān)系式可看出，這樣的點(diǎn)存在，并由可求出的取值范圍.

另外，由于，所以也可利用得：.

試題解析：（Ⅰ）由，且知，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，

由題知，，則，

故動(dòng)點(diǎn)G的軌跡的方程是． 4分

（Ⅱ）假設(shè)在線段上存在，使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．直線l與軸不垂直，設(shè)直線的方程為，，

由可得．

， ． 6分

，，，其中．

由于MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，

所以，則有， 8分

從而，

所以，

又，則，，

故上式變形為， 10分

將代入上式，得，

即，所以，可知．

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．                   ..13分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系.