Question

已知三個(gè)函數(shù)y=|x|+1，y=

x2-2x+1+t

，y=

1

2

（x+

t

x

）（x＞0），其中第二個(gè)函數(shù)和第三個(gè)函數(shù)中的t為同一常數(shù)，且0＜t＜1，它們各自的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三個(gè)根．
（1）求證：（a-1）²=4（b+1）；
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)，求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的最小值與方程x³+ax²+bx+c=0的三個(gè)根關(guān)系，證明：（a-1）²=4（b+1）；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求取值范圍．

解答：解：（1）三個(gè)函數(shù)的最小值依次為1，

t

，

t

，
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x²+（a-1）x+a+b+1=0的兩個(gè)根為

t

，

t

，
則

a+b+1=t a+1=-2 t

，即4（a+b+1）=（a+1）²．
（或利用判別式△=0）
（2）由題意可知x₁，x₂是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x₁，x₂是函數(shù)f'（x）=3x²+2ax+b=0的兩個(gè)根．
故x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

，△=4a²-2b＞0，
所以△=4a²-3（a-1）²+12=（a+3）²，
所以|x1-x2|=

|a+3|

3

，而2

t

=-(a-1)，
得a=-1-2

t

∈(-3，-1)，
故|x1-x2|∈(0，

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．