如圖，橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？
如圖，（1）設(shè)橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則
b2
x21
+a2
y21
=a2b2(1)
b2
x22
+a2
y22
=a2b2(2)

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1¹x2，
由（1）-（2）得
b2（x1-x2）2x+a2（y1-y2）2y=0
∴
y1-y2
x1-x2
=-
b2x
a2y
=
y
x-c

∴b2x2+a2y2-b2cx=0（3）
2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2+a2y2-b2cx=0

（2）因?yàn)�，橢圓Q右準(zhǔn)線l方程是x=
a2
c
，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為
a2
c
，
由于c2=a2-b2，a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
）
則
a2
c
=
1+cosq+sinq
1+cosq
=2sin（
q
2
+
π
4
）
當(dāng)q=
π
2
時(shí)，上式達(dá)到最大值．
此時(shí)a2=2，b2=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
設(shè)橢圓Q：
x2
2
+y2=1上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積
S=
1
2
|y1|+
1
2
|y2|=
1
2
|y1-y2|
設(shè)直線m的方程為x=ky+1，代入
x2
2
+y2=1中，得（2+k2）y2+2ky-1=0
由韋達(dá)定理得y1+y2=-
2k
2+k2
，y1y2=-
1
2+k2
，
4S2=（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=
8(k2+1)
(k2+2)2

令t=k2+131，
得4S2=
8t
(t+1)2
=
8
t+
1
t
+2
≤
8
4
=2，
當(dāng)t=1，k=0時(shí)取等號(hào)．
因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線l的方程為，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓與x軸交于兩點(diǎn)（如圖）．
（I）過(guò)M點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且圓孤恰為圓周的，求直線的方程；
（II）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；

（III）過(guò)M點(diǎn)的圓的切線交（II）中的一個(gè)橢圓于兩點(diǎn)，其中兩點(diǎn)在x軸上方，求線段CD的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．
（I）求與的值；
（II）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)．若是的切線，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2；以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的交點(diǎn)為P，延長(zhǎng)PF2交拋物線于點(diǎn)Q，M是拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C2的方程；
（2）當(dāng)△PF1F2的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)時(shí)，求△MPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)△PFO的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓C：
x2
9
+
y2
4
=1，斜率為k的直線l與橢圓相交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)A是線段MN的中點(diǎn)，直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率是k′，那么kk′=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=4x，過(guò)點(diǎn)A（x0，0）（其中x0為常數(shù)，且x0＞0）作直線l交拋物線于P，Q（點(diǎn)P在第一象限）；
（1）設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，直線DP交x軸于點(diǎn)B，求證：B為定點(diǎn)；
（2）若x0=1，M1，M2，M3為拋物線C上的三點(diǎn)，且△M1M2M3的重心為A，求線段M2M3所在直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，
1
2
）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線BC的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D．則：
（Ⅰ）雙曲線的離心率e=______；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=______．

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