Question

（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為２，寬為１，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）。將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上。

（1）若折痕所在直線的斜率為，試求折痕所在直線的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，折痕為線段，設(shè)，試求的最大值。

（說明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））

Answer 1

解：(1) ①當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合, 折痕所在的直線方程

②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，

所以與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，

有

故點(diǎn)坐標(biāo)為，

從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)

（線段的中點(diǎn)）為

折痕所在的直線方程，即

由①②得折痕所在的直線方程為：                     

（2）當(dāng)時(shí)，折痕的長為2;

當(dāng)時(shí)，折痕直線交于點(diǎn)，交軸于

∵

∴折痕長度的最大值為。 

而 ,故折痕長度的最大值為                 

（3）當(dāng)時(shí)，折痕直線交于，交軸于

∵  ∴

∵  ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，的最大值是。