Question

（1）已知x＞0，y＞0，且

1

x

+

9

y

=2，求x+y的最小值．
（2）已知x，y∈R⁺，且滿足

x

3

+

y

4

=1，求xy的最大值．
（3）若對(duì)任意x＜1，

x2+3

x-1

≤a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中等式配方得x+y=5+

1

2

（

y

x

+

9x

y

），利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)x=2、y=6時(shí)

y

x

+

9x

y

的最小值為6，由此即可得到x+y的最小值；
（2）利用基本不等式，得1=

x

3

+

y

4

≥2

xy 12

，平方化簡即可得到當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

2

，y=2時(shí)，xy的最大值為3；
（3）原不等式化簡為（1-x）+

4

1-x

≥2-a，結(jié)合1-x＞0利用基本不等式求出（1-x）+

4

1-x

的最小值為4．由此討論不等式

x2+3

x-1

≤a恒成立，可得4≥2-a，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：x+y=

1

2

（x+y）（

1

x

+

9

y

）=5+

1

2

（

y

x

+

9x

y

）
∵

y

x

+

9x

y

≥2

y x • 9x y

=6------------------（3分）
∴x+y=5+

1

2

（

y

x

+

9x

y

）≥5+

1

2

×6=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=6時(shí)等號(hào)成立
即x+y的最小值是8--------------------------（4分）
（2）因?yàn)閤、y為正數(shù)，所以1=

x

3

+

y

4

≥2

x 3 • y 4

=2

xy 12

所以

xy 12

≤

1

2

，平方得xy≤3-------------------------------（7分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

2

，y=2時(shí)，xy的最大值為3-------------------------（8分）
（3）不等式

x2+3

x-1

≤a，即

x2+3

-x+1

≥-a
整理，得（1-x）+

4

1-x

≥2-a
∵x＜1，得1-x＞0為正數(shù)
∴（1-x）+

4

1-x

≥2

(1-x)• 4 1-x

=4
即當(dāng)且僅當(dāng)1-x=2，即x=-1時(shí)，（1-x）+

4

1-x

的最小值為4
因此若對(duì)任意x＜1，

x2+3

x-1

≤a恒成立，即4≥2-a，解之得a≥-2
所以a的取值范圍為[-2，+∞）-----------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾個(gè)等式，求相應(yīng)的最值，并討論不等式恒成立．著重考查了基本不等式求最值、不等式恒成立的討論等知識(shí)，屬于中檔題．