Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，

且|F₁F₂|＝2，點(diǎn)在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過F₁的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且△AF₂B的面積為，

求直線l的方程．

Answer 1

解(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，由題意可得橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁(－1,0)，F₂(1,0)．

∴2a＝＋

＝＋＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b²＝4－1＝3，

故橢圓C的方程為＋＝1.

(2)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，計(jì)算得到：A，B，S△AF₂B＝·|AB|·|F₁F₂|＝×3×2＝3，不符合題意．

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y＝k(x＋1)，由消去y得(3＋4k²)x²＋8k²x＋4k²－12＝0.

顯然Δ>0成立，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝.

又|AB|＝·

＝·

＝·＝，

圓F₂的半徑r＝＝，

所以S△AF₂B＝|AB|·r＝··＝＝，

化簡(jiǎn)，得17k⁴＋k²－18＝0，即(k²－1)(17k²＋18)＝0，解得k＝±1.

所以y=±(x+1)