Question

已知和，點(diǎn)T（x，y）滿足，O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)T的軌跡方程Γ；
（2）過點(diǎn)（0，1）且以為方向向量的一條直線與軌跡方程Γ相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，OP，OQ所在的直線的斜率分別是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知點(diǎn)T的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，其中 a=2，c=，b==2，由此能夠推導(dǎo)出點(diǎn)T的軌跡方程．
（2）先求出直線L的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出x₁x₂以及代入k_OP•k_OQ即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵＞|F₁F₂|=2，
∴點(diǎn)T的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，
其中 a=2，c=，b==2，
故點(diǎn)T的軌跡方程為（6分）
（2）直線L的斜率（7分）
設(shè)直線L的方程：（8分）
聯(lián)立消去y得：所以x₁x₂=-1，（10分）
同法消去x得：2y²-2y-1=0，所以（12分）
∴K_OP•K_OQ==．（16分）
點(diǎn)評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出現(xiàn)不必要的錯誤．