Question

已知函數(shù)（為常數(shù)）．
（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，試判斷的單調(diào)性；
（3）若對任意的，使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）3；（2）在上是增函數(shù)；（3）.

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，，在由可求得；（2）在中由于，判斷函數(shù)的正負(fù)號(hào)，從而確定函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，
故問題等價(jià)于：對任意的，不等式恒成立．分離變量恒成立，構(gòu)造函數(shù)
記，（），由導(dǎo)數(shù)法求解.
依題意，，
（1）由已知得：，∴，∴．（3分）
（2）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053101559507.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，而，即，
故在上是增函數(shù)．（8分）
（3）當(dāng)時(shí)，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，
故問題等價(jià)于：對任意的，不等式恒成立．即恒成立
記，（），則，
令，則
所以，所以,
故，所以在上單調(diào)遞減所以
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．（13分）