Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=2，a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥2時，求證：；
（3）若函數(shù)f（x）滿足：f（1）=a₁，f（n+1）=[f（n）]²+f（n）（n∈N^*），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1=a_n+2a_n-1可得a_n+1+a_n=2（a_n+a_n-1）進(jìn)而推知{a_n+1+a_n}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得{a_n+1+a_n}通項(xiàng)公式；同理可推知∴{a_n+1-2a_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而求得其通項(xiàng)公式．兩個通項(xiàng)公式相減即可得到的a_n通項(xiàng)公式．
（2）首先根據(jù)=＜，進(jìn)而可推知，=3-＜3
（3）根據(jù)f（n+1）=[f（n）]²+f（n），可知f（n+1）-f（n）=[f（n）]²≥0，進(jìn)而推斷f（n+1）≥f（n）≥f（n-1）…≥f（1）=2＞0；對f（n+1）=[f（n）]²+f（n）變形可知=代入得=＜=，原式得證．
解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+2a_n-1，∴a_n+1+a_n=2（a_n+a_n-1）（n≥2）
∴{a_n+1+a_n}是2為公比，a₁+a₂=4為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
故a_n+1+a_n=2ⁿ⁺¹①
又由a_n+1=a_n+2a_n-1得：a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1）（n≥2）
∴{a_n+1-2a_n}是以-1為公比，a₁-2a₂=-2為首項(xiàng)的等比數(shù)列
故a_n+1-2a_n=2×（-1）ⁿ②
①-②得：3a_n=2[2ⁿ-（-1）ⁿ]（n≥2）
又a₁=2也適合上式
∴a_n=ⁿ]
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，==＜=（n≥2）
∴=3-＜3
當(dāng)n為奇數(shù)時，由（1）可知＜3
∴原式得證．
（3）∵f（n+1）=[f（n）]²+f（n）
∴f（n+1）-f（n）=[f（n）]^2_≥0
∴f（n+1）≥f（n）
∴f（n+1）≥f（n）≥f（n-1）…≥f（1）=2＞0
又=
∴
故+…+=＜=
點(diǎn)評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定問題．本題的關(guān)鍵是充分利用了不等式的傳遞性等性質(zhì)．