Question

已知函數(shù)．

（1）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）如果函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，且，求證：（其中，是的導(dǎo)函數(shù)，正常數(shù)滿足）．

Answer 1

解：（1）∵，，              -----1分

       ∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減。                                                            ----3分

       ∴當(dāng)x=1時(shí)，有極大值，也是最大值，即為-1，但無(wú)最小值。

       故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；最大值為-1，但無(wú)最小值。

       方程化為，                               -----3分

       由上知，在區(qū)間上的最大值為-1，，，。故在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足，

       ∴，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為。             -----6分

（2）∵，又有兩個(gè)實(shí)根，

       ∴兩式相減，得

       ∴                  -----8分

       于是

       =．

       ∵,∴,∵,∴。           -----9分

       要證：，只需證：．

       只需證：．                     （＊）

       令，∴（＊）化為

       只證即可．                                -----11分

             

              ，，0<t<1，

       ∴t-1<0．

       ∴u'（t）>0,∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴u（t）<u（1）=0

       ∴u（t）<0，

       即：．

                                 ．．．．．．．．．．．．．13分