Question

5．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=log_a（x+1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若-1＜f（1）＜1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)任意的x＜0，則-x＞0，利用奇偶性求出x＜0時的函數(shù)解析式，最后用分段函數(shù)表示即可；
（2）由-1＜f（1）＜1，可得-1＜log_a2＜1，分類討論，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)任意的x＜0，則-x＞0，…（1分）
由題，f（-x）=log_a（-x+1）
又∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）…（3分）
∴當(dāng)x＜0，f（x）=log_a（-x+1）…（5分）
∴函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lo{g_a}（{x+1}），x≥0\\ lo{g_a}（{-x+1}），x＜0\end{array}\right.$…（6分）
（2）∵-1＜f（1）＜1，∴-1＜log_a2＜1，
∴${log_a}\frac{1}{a}＜{log_a}2＜{log_a}a$…（7分）
①當(dāng)a＞1時，原不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜2\\ a＞2\end{array}\right.$
解得a＞2…（9分）
②當(dāng)0＜a＜1時，原不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＞2\\ a＜2\end{array}\right.$
解得 $0＜a＜\frac{1}{2}$…（11分）
綜上，實數(shù)a的取值范圍為$\{a|0＜a＜\frac{1}{2}或a＞2\}$…（12分）

點評 本題主要考查了利用奇偶性求函數(shù)的解析式，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．