【題目】如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，M為線(xiàn)段中點(diǎn)，.
(1)求證：； 
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)N，使得直線(xiàn)平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
			



			


		

		
		
	

		

			

				

				
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）線(xiàn)段BD上存在點(diǎn)N,使得直線(xiàn)平面AFN，且，詳見(jiàn)解析.
【解析】
（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得.（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，證得兩兩垂直.分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量計(jì)算出線(xiàn)面角的正弦值.（3）通過(guò)向量共線(xiàn)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，解方程求得的值，由此證得存在點(diǎn)符合題意.
(1)證明：因?yàn)?/span>為正方形，
所以．
又因?yàn)槠矫?/span>平面，
且平面平面，
所以平面．
所以． 
(2)取AD中點(diǎn)O,EF中點(diǎn)K，連接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，進(jìn)而，
即兩兩垂直． 
分別以為x軸，y軸,z軸
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
于是，，,,,
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則 即 
令，則，則．
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為， 
(3) 要使直線(xiàn)平面，只需，
設(shè),則,
,
，所以,
又 ，由得
解得
所以線(xiàn)段BD上存在點(diǎn)N,使得直線(xiàn)平面AFN，且．
				

							

			

			

			
			

		

	


		


		





			

		

		
				

				練習(xí)冊(cè)系列答案
		

		
				
			

					

				相關(guān)習(xí)題
			

						
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的. [附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;
（2）試估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
（3）該公司按照類(lèi)似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬(wàn)元)
1
2
3
4
5
銷(xiāo)售收益 (單位:萬(wàn)元)
2
3
2
7
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線(xiàn)相切，圓心在直線(xiàn)上，且，求橢圓的方程. 


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】設(shè)函數(shù).
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；
（Ⅲ）證明：直線(xiàn)FG與平面BCD相交．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
【題目】下列命題不正確的是（ ）
A.若，且，則
B.若，且，則
C.若直線(xiàn)直線(xiàn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)確定一個(gè)平面
D.三點(diǎn)確定一個(gè)平面.


			


			

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