已知數(shù)列{an},定義其倒均數(shù)是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
,n∈N*

(1)求數(shù)列{an}的倒均數(shù)是Vn=
n+1
2
,求數(shù)列{an}的通項公式an
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的首項為-1,公比為q=
1
2
,其倒數(shù)均為Vn,若存在正整數(shù)k,使n≥k時,Vn<-16恒成立,試求k的最小值.
分析:(1)此題先給出一個新概念,據(jù)其定義式經(jīng)過適當(dāng)變形后,再利用求數(shù)列通項公式的常用方法:當(dāng)n=1,c1=s1當(dāng)n≥2時,cn=sn-sn-1,就可以求出其通項公式.
(2)先據(jù)已知條件求出Vn,進而求出適合題意的K值.
解答:解:(1)依題意,
1
a 1
+
1
a 2
+…+
1
a n
n
=
n+1
2

1
a 1
+
1
a 2
+…+
1
a n
=
n2+n
2
…(2分)
當(dāng)n≥2時,
1
a 1
+
1
a 2
+…+
1
a n-1
=
(n-1)2+(n-1)
2

兩式相減得,得
1
an
=n.(n≥2)
an=
1
n
(n≥2)
…(6分)
當(dāng)n=1時,
1
a1
=1
∴a1=1適合上式…(7分)
an=
1
n
.…(8分)
(2)由題意,bn=-(
1
2
)n-1
1
bn
=-2n-1
.…..(10分)
Vn=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
n
=
-(2-2n)
1-2
n
=
1-2n
2
…(12分)
不等式Vn<-16恒成立,即
1-2n
n
<-16,也即2n-1>16n
恒成立.
易驗證當(dāng)n≤6時,左邊<右邊;
當(dāng)n=7時,左邊=127>112=右邊.
故適合不等式Vn<-16的最小K值為7.…(14分)
點評:此題是建立在新定義式的基礎(chǔ)上的常規(guī)題,只要適當(dāng)變形不難解決本題,關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識和基本方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:在數(shù)列{an}中,an>0且an≠1,若
a
an+1
n
為定值,則稱數(shù)列{an}為“等冪數(shù)列”.已知數(shù)列{an}為“等冪數(shù)列”,且a1=2,a2=4,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2009=(  )
A、6026B、6024
C、2D、4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:在數(shù)列{an}中,an>0且an≠1,若anan+1為定值,則稱數(shù)列{an}為“等冪數(shù)列”.已知數(shù)列{an}為“等冪數(shù)列”,且a1=2,a2=4,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2013等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an},若點(n,an)(n∈N*)在經(jīng)過點(8,4)的定直線l上,則數(shù)列{an}的前15項和S15=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河南模擬)已知數(shù)列{an},若點(n,an)(n∈N+)在經(jīng)過點(5,3)的定直線l上,則數(shù)列{an}的前9項和S9=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

A、B是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上的任意兩點,且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點M的橫坐標(biāo)為
1
2

(Ⅰ)求證:M點的縱坐標(biāo)為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),n∈N+且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=
2
3
(n=1)
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
(n≥2,n∈N+)
.Tn為其前n項的和,若Tn<λ(Sn+1+1),對一切正整數(shù)都成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案