Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′(

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)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x，若函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c，得f'（x）=3x²+2ax-1．
當(dāng)x=

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時(shí)，得a=f ′(

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)=3×(

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)2+2f ′(

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)×(

2

3

)-1，
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=x³-x²-x+c．
從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)，
由f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

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)(x-1)=0，得x1=-

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 ，x2=1，
列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ ， -

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)和（1，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

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 ， 1)．…（9分）
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+c）•e^x，
有g(shù)'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+c）e^x=（-x²-3x+c-1）e^x，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上單調(diào)遞增，
等價(jià)于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范圍是c≥11．…（14分）